初三数学期末考试练习试题及答案

试题 时间:2017-11-02 编辑:阳炎 手机版
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  初三数学期末考试练习试题

  一、选择题(每题3分、共30分)

  1.四会市现在总人口43万多,数据43万用科学记数法表示为(  )

  A.43×104B.4.3×105C.4.3×106D.0.43×106

  2.下列四个多边形:①等边三角形;②正方形;③正五边形;④正六边形、其中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )

  A.①②B.②③C.②④D.①④

  3.如图,在菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则对角线AC等于(  )

  A.20B.15C.10D.5

  4.如图是一个用相同的小立方体搭成的几何体的三视图,则组成这个几何体的小立方体的个数是(  )

  A.2B.3C.4D.5

  5.在平面中,下列命题为真命题的是(  )

  A.四边相等的四边形是正方形

  B.对角线相等的四边形是菱形

  C.四个角相等的四边形是矩形

  D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

  6.若关于x的方程x2﹣4x+m=0没有实数根,则实数m的取值范围是(  )

  A.m<﹣4b.m>﹣4C.m<4d.m>4

  7.用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0,此方程可变形为(  )

  A.(x+2)2=9B.(x﹣2)2=9C.(x+2)2=1D.(x﹣2)2=1

  8.货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为x千米/小时,依题意列方程正确的是(  )

  A.B.C.D.

  9.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为(  )

  A.B.C.D.

  10.如图,抛物线y=x2与直线y=x交于A点,沿直线y=x平移抛物线,使得平移后的抛物线顶点恰好为A点,则平移后抛物线的解析式是(  )

  A.y=(x+1)2﹣1B.y=(x+1)2+1C.y=(x﹣1)2+1D.y=(x﹣1)2﹣1

  二、填空题(每题3分、共30分)

  11.若在实数范围内有意义,则x的取值范围是      .

  12.已知一次函数y=kx+3的图象经过第一、二、四象限,则k的取值范围是      .

  13.分解因式:3ax2﹣3ay2=      .

  14.在10个外观相同的产品中,有2个不合格产品,现从中任意抽取1个进行检测,抽到合格产品的概率是      .

  15.设x1、x2是方程3x2﹣x﹣1=0的两个实数根,则3x12﹣2x1﹣x2的值等于      .

  16.某商品原价289元,经过两次连续降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则由题意所列方程      .

  17.若|a﹣3|+(a﹣b)2=0,则ab的倒数是      .

  18.如图,在?ABCD中,AE⊥BC于E,AE=EB=EC=a,且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根,则?ABCD的周长是      .

  19.如图,A(4,0),B(3,3),以AO,AB为边作平行四边形OABC,则经过C点的反比例函数的解析式为      .

  三、解答题(共60分)

  20.(﹣1)0+()﹣2﹣.

  21.先化简,再求值:,其中.

  22.解不等式组:,并把解集在数轴上表示出来.

  23.某校初三(1)班的同学踊跃为“雅安芦山地震”捐款,根据捐款情况(捐款数为正数)制作以下统计图表,但生活委员不小心把墨水滴在统计表上,部分数据看不清楚.

  捐款人数

  0~20元

  21~40元

  41~60元

  61~80元6

  81元以上4

  (1)全班有多少人捐款?

  (2)如果捐款0~20元的人数在扇形统计图中所占的圆心角为72°,那么捐款21~40元的有多少人?

  24.四张扑克牌的点数分别是2,3,4,8,将它们洗匀后背面朝上放在桌上.

  (1)从中随机抽取一张牌,求这张牌的点数偶数的概率;

  (2)从中随机抽取一张牌,接着再抽取一张,求这两张牌的点数都是偶数的概率.

  25.如图.直线y=ax+b与双曲线相交于两点A(1,2),B(m,﹣4).

  (1)求直线与双曲线的解析式;

  (2)求不等式ax+b>的解集(直接写出答案)

  26.(10分)(2013南通)某公司营销A、B两种产品,根据市场调研,发现如下信息:

  信息1:销售A种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在二次函数关系y=ax2+bx.在x=1时,y=1.4;当x=3时,y=3.6.

  信息2:销售B种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在正比例函数关系y=0.3x.

  根据以上信息,解答下列问题;

  (1)求二次函数解析式;

  (2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨,请设计一个营销方案,使销售A、B两种产品获得的利润之和最大,最大利润是多少?

  27.(12分)(2008包头)阅读并解答:

  ①方程x2﹣2x+1=0的根是x1=x2=1,则有x1+x2=2,x1x2=1.

  ②方程2x2﹣x﹣2=0的根是x1=,x2=,则有x1+x2=,x1x2=﹣1.

  ③方程3x2+4x﹣7=0的根是x1=﹣,x2=1,则有x1+x2=﹣,x1x2=﹣.

  (1)根据以上①②③请你猜想:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根为x1,x2,那么x1,x2与系数a、b、c有什么关系?请写出你的猜想并证明你的猜想;

  (2)利用你的猜想结论,解决下面的问题:

  已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2﹣2=0有实数根x1,x2,且x12+x22=11,求k的值.

  参考答案与试题解析

  一、选择题(每题3分、共30分)

  1.四会市现在总人口43万多,数据43万用科学记数法表示为(  )

  A.43×104B.4.3×105C.4.3×106D.0.43×106

  考点:科学记数法—表示较大的数.

  分析:科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于43万有6位,所以可以确定n=6﹣1=5.

  解答:解:43万=430000=4.3×105.

  故选B.

  点评:此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定a与n值是关键.

  2.下列四个多边形:①等边三角形;②正方形;③正五边形;④正六边形、其中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )

  A.①②B.②③C.②④D.①④

  考点:中心对称图形;轴对称图形.

  分析:根据正多边形的性质和轴对称与中心对称的性质解答.

  解答:解:由正多边形的对称性知,偶数边的正多边形既是轴对称图形,又是中心对称图形;

  奇数边的正多边形只是轴对称图形,不是中心对称图形.

  故选C.

  点评:此题考查正多边形对称性.关键要记住偶数边的正多边形既是轴对称图形,又是中心对称图形,奇数边的正多边形只是轴对称图形.

  3.如图,在菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则对角线AC等于(  )

  A.20B.15C.10D.5

  考点:菱形的性质;等边三角形的判定与性质.

  分析:根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形,从而得到AC=AB.

  解答:解:∵AB=BC,∠B+∠BCD=180°,∠BCD=120°

  ∴∠B=60°

  ∴△ABC为等边三角形

  ∴AC=AB=5

  故选D.

  点评:本题考查了菱形的性质和等边三角形的判定.

  4.如图是一个用相同的小立方体搭成的几何体的三视图,则组成这个几何体的小立方体的个数是(  )

  A.2B.3C.4D.5

  考点:由三视图判断几何体.

  分析:根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形,再结合题意和三视图的特点找出每行和每列的小正方体的个数再相加即可.

  解答:解:由俯视图易得最底层有3个立方体,第二层有1个立方体,那么搭成这个几何体所用的小立方体个数是4.

  故选C.

  点评:本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力,同时也体现了对空间想象能力方面的考查.如果掌握口诀“俯视图打地基,正视图疯狂盖,左视图拆违章”就更容易得到答案.

  5.在平面中,下列命题为真命题的是(  )

  A.四边相等的四边形是正方形

  B.对角线相等的四边形是菱形

  C.四个角相等的四边形是矩形

  D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

  考点:正方形的判定;平行四边形的判定;菱形的判定;矩形的判定;命题与定理.

  分析:分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案,不是真命题的可以举出反例.

  解答:解:A、四边相等的四边形不一定是正方形,例如菱形,故此选项错误;

  B、对角线相等的四边形不是菱形,例如矩形,等腰梯形,故此选项错误;

  C、四个角相等的四边形是矩形,故此选项正确;

  D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形,如右图所示,故此选项错误.

  故选:C.

  点评:此题主要考查命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.

  6.若关于x的方程x2﹣4x+m=0没有实数根,则实数m的取值范围是(  )

  A.m<﹣4b.m>﹣4C.m<4d.m>4

  考点:根的判别式.

  专题:计算题.

  分析:由方程没有实数根,得到根的判别式的值小于0,列出关于m的不等式,求出不等式的解集即可得到m的范围.

  解答:解:∵△=(﹣4)2﹣4m=16﹣4m<0,

  ∴m>4.

  故选D

  点评:此题考查了根的判别式,熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键.

  7.用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0,此方程可变形为(  )

  A.(x+2)2=9B.(x﹣2)2=9C.(x+2)2=1D.(x﹣2)2=1

  考点:解一元二次方程-配方法.

  分析:移项后配方,再根据完全平方公式求出即可.

  解答:解:x2+4x﹣5=0,

  x2+4x=5,

  x2+4x+22=5+22,

  (x+2)2=9,

  故选:A.

  点评:本题考查了解一元二次方程的应用,关键是能正确配方.

  8.货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为x千米/小时,依题意列方程正确的是(  )

  A.B.C.D.

  考点:由实际问题抽象出分式方程.

  分析:题中等量关系:货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,列出关系式.

  解答:解:根据题意,得

  .

  故选:C.

  点评:理解题意是解答应用题的关键,找出题中的等量关系,列出关系式.

  9.在同一平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为(  )

  A.B.C.D.

  考点:二次函数的图象;一次函数的图象.

  专题:数形结合.

  分析:根据二次函数的性质首先排除B选项,再根据a、b的值的正负,结合二次函数和一次函数的性质逐个检验即可得出答案.

  解答:解:根据题意可知二次函数y=ax2+bx的图象经过原点O(0,0),故B选项错误;

  当a<0时,二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,一次函数y=ax+b的斜率a为负值,故D选项错误;

  当a<0、b>0时,二次函数y=ax2+bx的对称轴x=﹣>0,一次函数y=ax+b与y轴的交点(0,b)应该在y轴正半轴,故C选项错误;

  当a>0、b<0时,二次函数y=ax2+bx的对称轴x=﹣>0,一次函数y=ax+b与y轴的交点(0,b)应该在y轴负半轴,故A选项正确.

  故选A.

  点评:本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质,做题时要注意数形结合思想的运用,同学们加强训练即可掌握,属于基础题.

  10.如图,抛物线y=x2与直线y=x交于A点,沿直线y=x平移抛物线,使得平移后的抛物线顶点恰好为A点,则平移后抛物线的解析式是(  )

  A.y=(x+1)2﹣1B.y=(x+1)2+1C.y=(x﹣1)2+1D.y=(x﹣1)2﹣1

  考点:二次函数图象与几何变换.

  分析:首先根据抛物线y=x2与直线y=x交于A点,即可得出A点坐标,然后根据抛物线平移的性质:左加右减,上加下减可得解析式.

  解答:解:∵抛物线y=x2与直线y=x交于A点,

  ∴x2=x,

  解得:x1=1,x2=0(舍去),

  ∴A(1,1),

  ∴抛物线解析式为:y=(x﹣1)2+1,

  故选:C.

  点评:此题主要考查了二次函数图象的几何变换,关键是求出A点坐标,掌握抛物线平移的性质:左加右减,上加下减.

  二、填空题(每题3分、共30分)

  11.若在实数范围内有意义,则x的取值范围是 x≥2 .

  考点:二次根式有意义的条件.

  专题:计算题.

  分析:让二次根式的被开方数为非负数列式求解即可.

  解答:解:由题意得:3x﹣6≥0,

  解得x≥2,

  故答案为:x≥2.

  点评:考查二次根式有意义的条件;用到的知识点为:二次根式有意义,被开方数为非负数.

  12.已知一次函数y=kx+3的图象经过第一、二、四象限,则k的取值范围是 k<0 .

  考点:一次函数图象与系数的关系.

  分析:根据一次函数经过的象限确定其图象的增减性,然后确定k的取值范围即可.

  解答:解:∵一次函数y=kx+3的图象经过第一、二、四象限,

  ∴k<0;

  故答案为:k<0.

  点评:本题考查了一次函数的图象与系数的关系,解题的关键是根据图象的位置确定其增减性.

  13.分解因式:3ax2﹣3ay2= 3a(x+y)(x﹣y) .

  考点:提公因式法与公式法的综合运用.

  分析:当一个多项式有公因式,将其分解因式时应先提取公因式,再对余下的多项式继续分解.

  解答:解:3ax2﹣3ay2=3a(x2﹣y2)=3a(x+y)(x﹣y).

  故答案为:3a(x+y)(x﹣y)

  点评:本题考查了提公因式法,公式法分解因式,关键在于提取公因式后再利用平方差公式继续进行二次因式分解,分解因式一定要彻底.

  14.在10个外观相同的产品中,有2个不合格产品,现从中任意抽取1个进行检测,抽到合格产品的概率是  .

  考点:概率公式.

  分析:由在10个外观相同的产品中,有2个不合格产品,直接利用概率公式求解即可求得答案.

  解答:解:∵在10个外观相同的产品中,有2个不合格产品,

  ∴现从中任意抽取1个进行检测,抽到合格产品的概率是:=.

  故答案为:.

  点评:此题考查了概率公式的应用.注意用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.

  15.设x1、x2是方程3x2﹣x﹣1=0的两个实数根,则3x12﹣2x1﹣x2的值等于  .

  考点:根与系数的关系;一元二次方程的解.

  分析:根据题意可知,x1+x2=,然后根据方程解的定义得到3x12=x1+1,然后整体代入3x12﹣2x1﹣x2计算即可.

  解答:解:∵x1,x2是方程3x2﹣x﹣1=0的两个实数根,

  ∴x1+x2=,

  ∵x1是方程x2﹣5x﹣1=0的实数根,

  ∴3x12﹣x1﹣1=0,

  ∴x12=x1+1,

  ∴3x12﹣2x1+x2

  =x1+1﹣2x1﹣x2

  =1﹣(x1+x2)

  =1﹣

  =.

  故答案为:.

  点评:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系x1+x2=﹣,x1x2=,以及一元二次方程的解.

  16.某商品原价289元,经过两次连续降价后售价为256元,设平均每次降价的百分率为x,则由题意所列方程 289×(1﹣x)2=256 .

  考点:由实际问题抽象出一元二次方程.

  专题:增长率问题.

  分析:可先表示出第一次降价后的价格,那么第一次降价后的价格×(1﹣降低的百分率)=256,把相应数值代入即可求解.

  解答:解:第一次降价后的价格为289×(1﹣x),两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x,

  为289×(1﹣x)×(1﹣x),则列出的方程是289×(1﹣x)2=256.

  点评:考查求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.

  17.若|a﹣3|+(a﹣b)2=0,则ab的倒数是  .

  考点:非负数的性质:偶次方;非负数的性质:绝对值.

  分析:根据非负数的性质列式求出a、b的值,然后代入代数式进行计算即可得解.

  解答:解:根据题意得,a﹣3=0,a﹣b=0,

  解得a=b=3,

  所以,ab=33=27,

  所以,ab的倒数是.

  故答案为:.

  点评:本题考查了非负数的性质:几个非负数的和为0时,这几个非负数都为0.

  18.如图,在?ABCD中,AE⊥BC于E,AE=EB=EC=a,且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根,则?ABCD的周长是 4+2 .

  考点:解一元二次方程-因式分解法;平行四边形的性质.

  专题:计算题.

  分析:先解方程求得a,再根据勾股定理求得AB,从而计算出?ABCD的周长即可.

  解答:解:∵a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根,

  ∴(x﹣1)(x+3)=0,

  即x=1或﹣3,

  ∵AE=EB=EC=a,

  ∴a=1,

  在Rt△ABE中,AB==a=,

  ∴?ABCD的周长=4a+2a=4+2.

  故答案为:4+2.

  点评:本题考查了用因式分解法解一元二次方程,以及平行四边形的性质,是基础知识要熟练掌握.

  19.如图,A(4,0),B(3,3),以AO,AB为边作平行四边形OABC,则经过C点的反比例函数的解析式为 y=﹣ .

  考点:待定系数法求反比例函数解析式;平行四边形的性质.

  专题:待定系数法.

  分析:设经过C点的反比例函数的解析式是y=(k≠0),设C(x,y).根据平行四边形的性质求出点C的坐标(﹣1,3).然后利用待定系数法求反比例函数的解析式.

  解答:解:设经过C点的反比例函数的解析式是y=(k≠0),设C(x,y).

  ∵四边形OABC是平行四边形,

  ∴BC∥OA,BC=OA;

  ∵A(4,0),B(3,3),

  ∴点C的纵坐标是y=3,|3﹣x|=4(x<0),

  ∴x=﹣1,

  ∴C(﹣1,3).

  ∵点C在反比例函数y=(k≠0)的图象上,

  ∴3=,

  解得,k=﹣3,

  ∴经过C点的反比例函数的解析式是y=﹣.

  故答案为:y=﹣.

  点评:本题主要考查了平行四边形的性质(对边平行且相等)、利用待定系数法求反比例函数的解析式.解答反比例函数的解析式时,还借用了反比例函数图象上点的坐标特征,经过函数的某点一定在函数的图象上.

  三、解答题(共60分)

  20.(﹣1)0+()﹣2﹣.

  考点:实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.

  专题:计算题.

  分析:原式第一项利用零指数幂法则计算,第二项利用负整数指数幂法则计算,即可得到结果.

  解答:解:原式=1+4﹣=4.

  点评:此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.

  21.先化简,再求值:,其中.

  考点:分式的化简求值;约分;分式的乘除法;分式的加减法.

  专题:计算题.

  分析:先算括号里面的减法,再把除法变成乘法,进行约分即可.

  解答:解:原式=&pide;()

  =×

  =,

  当x=﹣3时,

  原式==.

  点评:本题主要考查对分式的加减、乘除,约分等知识点的理解和掌握,能熟练地运用法则进行化简是解此题的关键.

  22.解不等式组:,并把解集在数轴上表示出来.

  考点:解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.

  专题:计算题.

  分析:分别解两个不等式得到x≥﹣2和x<1,再根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集,然后用数轴表示解集.

  解答:解:,

  由①得:x≥﹣2,

  由②得:x<1,

  ∴不等式组的解集为:﹣2≤x<1,

  如图,在数轴上表示为:.

  点评:本题考查了解一元一次不等式组:分别求出不等式组各不等式的解集,然后根据“同大取大,同小取小,大于小的小于大的取中间,大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集.也考查了在数轴上表示不等式的解集.

  23.某校初三(1)班的同学踊跃为“雅安芦山地震”捐款,根据捐款情况(捐款数为正数)制作以下统计图表,但生活委员不小心把墨水滴在统计表上,部分数据看不清楚.

  捐款人数

  0~20元

  21~40元

  41~60元

  61~80元6

  81元以上4

  (1)全班有多少人捐款?

  (2)如果捐款0~20元的人数在扇形统计图中所占的圆心角为72°,那么捐款21~40元的有多少人?

  考点:扇形统计图;统计表.

  分析:(1)根据扇形统计图中的捐款81元以上的认识和其所占的百分比确定全班人数即可;

  (2)分别确定每个小组的人数,最后确定捐款数在21﹣40元的人数即可.

  解答:解:(1)4&pide;8%=50

  答:全班有50人捐款.

  (2)∵捐款0~20元的人数在扇形统计图中所占的圆心角为72°

  ∴捐款0~20元的人数为50×=10

  ∴50﹣10﹣50×32%﹣6﹣4=14

  答:捐款21~40元的有14人.

  点评:本题考查了扇形统计图及统计表的知识,解题的关键是确定总人数.

  24.四张扑克牌的点数分别是2,3,4,8,将它们洗匀后背面朝上放在桌上.

  (1)从中随机抽取一张牌,求这张牌的点数偶数的概率;

  (2)从中随机抽取一张牌,接着再抽取一张,求这两张牌的点数都是偶数的概率.

  考点:列表法与树状图法;概率公式.

  分析:(1)利用数字2,3,4,8中一共有3个偶数,总数为4,即可得出点数偶数的概率;

  (2)利用树状图列举出所有情况,让点数都是偶数的情况数除以总情况数即为所求的概率.

  解答:解:(1)根据数字2,3,4,8中一共有3个偶数,

  故从中随机抽取一张牌,这张牌的点数偶数的概率为:;

  (2)根据从中随机抽取一张牌,接着再抽取一张,列树状图如下:

  根据树状图可知,一共有12种情况,两张牌的点数都是偶数的有6种,

  故连续抽取两张牌的点数都是偶数的概率是:=.

  点评:此题主要考查了列表法求概率,列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件;树状图法适用于两步或两步以上完成的事件;解题时还要注意是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.

  25.如图.直线y=ax+b与双曲线相交于两点A(1,2),B(m,﹣4).

  (1)求直线与双曲线的解析式;

  (2)求不等式ax+b>的解集(直接写出答案)

  考点:反比例函数与一次函数的交点问题.

  分析:(1)先把先把(1,2)代入双曲线中,可求k,从而可得双曲线的解析式,再把y=﹣4代入双曲线的解析式中,可求m,最后把(1,2)、(﹣,﹣4)代入一次函数,可得关于a、b的二元一次方程组,解可求a、b的值,进而可求出一次函数解析式;

  (2)根据图象观察可得x>1或﹣<x<0.主要是观察交点的左右即可.<>

  解答:解:(1)先把(1,2)代入双曲线中,得

  k=2,

  ∴双曲线的解析式是y=,

  当y=﹣4时,m=﹣,

  把(1,2)、(﹣,﹣4)代入一次函数,可得

  ,

  解得

  ,

  ∴一次函数的解析式是y=4x﹣2;

  (2)根据图象可知,若ax+b>,那么x>1或﹣<x<0.<>

  点评:本题考查了一次函数与反比例函数交点问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式,并会根据图象求出不等式的解集.

  26.(10分)(2013南通)某公司营销A、B两种产品,根据市场调研,发现如下信息:

  信息1:销售A种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在二次函数关系y=ax2+bx.在x=1时,y=1.4;当x=3时,y=3.6.

  信息2:销售B种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在正比例函数关系y=0.3x.

  根据以上信息,解答下列问题;

  (1)求二次函数解析式;

  (2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨,请设计一个营销方案,使销售A、B两种产品获得的利润之和最大,最大利润是多少?

  考点:二次函数的应用.

  分析:(1)把两组数据代入二次函数解析式,然后利用待定系数法求解即可;

  (2)设购进A产品m吨,购进B产品(10﹣m)吨,销售A、B两种产品获得的利润之和为W元,根据总利润等于两种产品的利润的和列式整理得到W与m的函数关系式,再根据二次函数的最值问题解答.

  解答:解:(1)∵当x=1时,y=1.4;当x=3时,y=3.6,

  ∴,

  解得,

  所以,二次函数解析式为y=﹣0.1x2+1.5x;

  (2)设购进A产品m吨,购进B产品(10﹣m)吨,销售A、B两种产品获得的利润之和为W元,

  则W=﹣0.1m2+1.5m+0.3(10﹣m)=﹣0.1m2+1.2m+3=﹣0.1(m﹣6)2+6.6,

  ∵﹣0.1<0,

  ∴当m=6时,W有最大值6.6,

  ∴购进A产品6吨,购进B产品4吨,销售A、B两种产品获得的利润之和最大,最大利润是6.6万元.

  点评:本题考查了二次函数的应用,主要利用了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的最值问题,比较简单,(2)整理得到所获利润与购进A产品的吨数的关系式是解题的关键.

  27.(12分)(2008包头)阅读并解答:

  ①方程x2﹣2x+1=0的根是x1=x2=1,则有x1+x2=2,x1x2=1.

  ②方程2x2﹣x﹣2=0的根是x1=,x2=,则有x1+x2=,x1x2=﹣1.

  ③方程3x2+4x﹣7=0的根是x1=﹣,x2=1,则有x1+x2=﹣,x1x2=﹣.

  (1)根据以上①②③请你猜想:如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根为x1,x2,那么x1,x2与系数a、b、c有什么关系?请写出你的猜想并证明你的猜想;

  (2)利用你的猜想结论,解决下面的问题:

  已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2﹣2=0有实数根x1,x2,且x12+x22=11,求k的值.

  考点:根与系数的关系;解一元二次方程-公式法;解一元二次方程-因式分解法;根的判别式.

  专题:压轴题;阅读型.

  分析:(1)由①②③中两根之和与两根之积的结果可以看出,两根之和正好等于一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积正好等于常数项与二次项系数之比.

  (2)欲求k的值,先把代数式x12+x22变形为两根之积或两根之和的形式,然后与两根之和公式、两根之积公式联立组成方程组,解方程组即可求k值.

  解答:解:(1)猜想为:设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则有,.

  理由:设x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,

  那么由求根公式可知,,.

  于是有,,

  综上得,设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则有,.

  (2)x1、x2是方程x2+(2k+1)x+k2﹣2=0的两个实数根

  ∴x1+x2=﹣(2k+1),x1x2=k2﹣2,

  又∵x12+x22=x12+x22+2x1x2﹣2x1x2=(x1+x2)2﹣2x1x2

  ∴[﹣(2k+1)]2﹣2×(k2﹣2)=11

  整理得k2+2k﹣3=0,

  解得k=1或﹣3,

  又∵△=[﹣(2k+1)]2﹣4(k2﹣2)≥0,解得k≥﹣,

  ∴k=1.

  点评:本题考查了学生的总结和分析能力,善于总结,善于发现,学会分析是学好数学必备的能力.

  将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.

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